Find the derivative of tan ( a x + b ) from first principles

 Study 

Q. Find the derivative of 

$\tan (ax+b)$ from first principles

Answer. 

=>f(x) =tan(ax+b) 

Because f'(x) = lim f(x+h) -f(x) /h

                           h->0

== >   =lim tan a(x+h) +b  -tan (ax+b) /h

            h->0

   lim  tan(ax+ah+b) - tan(ax+b) 

   h-->0

 =  ---------------------------------------------

              h

  lim tan((ax+b) +ah) -tanx(ax+b) 

 h-->0

=------------------------------------------

              h

 lim  tan(ax+b)  + tanah  -tan(ax+b) 

 h->0

         -----------------------------

         1-tanax+b *tanah

=-------------------------------------------

              h

lim tan(ax+b) + tanah -tan(ax+b) +tan^2(ax+b)                                                                           *tanah

 h->0

         

         

=-------------------------------------------

              h 1-tanax+b *tanah

 lim tanah +tan^2(ax+b) *tanah

 h->0

         

         

=-------------------------------------------

              h (1-tanax+b *tanah) 

lim tanah (1+tan^2(ax+b) ) 

 h->0

=-------------------------------------------

              h (1-tanax+b *tanah) 

lim tanah     * lim (1+tan^2(ax+b) ) 

 h->0                 h->0

=--------------     ---------------------------

          h               (1-tanax+b *tanah) 

 1*a*    lim (1+tan^2(ax+b) )

             h->0

    =--------------------------

       (1-tanax+b *tanah) 

1*a*    lim (1+tan^2(ax+b) )

             h->0

    =--------------------------

       (1-tanax+b *tan0) 

1*a*    lim (1+tan^2(ax+b) )

             h->0

    =--------------------------

       (1-tanax+b *0) 

1*a*    lim (1+tan^2(ax+b) )

             h->0

    =--------------------------

       (1-0) 

=a sec^2(ax+b)